Question

3．已知递增的等差数列{a_n}的首项是1，S_n是其前n项和，且$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}=\frac{3}{2}$（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设b_n=a_n•2^a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}有公差为d，d＞0；从而化简可得3d²+d-4=0，从而解得d=1，从而写出通项公式；
（2）化简b_n=a_n•2^a_n=n•2ⁿ，从而利用错位相减法求其前n项和．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}有公差为d，d＞0；
则1+$\frac{1}{2+d}$+$\frac{1}{3+3d}$=$\frac{3}{2}$，
整理可得，3d²+d-4=0，
解得，d=1或d=-$\frac{4}{3}$（舍去），
故数列{a_n}的通项公式a_n=n；
（2）b_n=a_n•2^a_n=n•2ⁿ，
故T_n=1×2+2×4+3×8+…+n•2ⁿ，
2T_n=1×4+2×8+3×16+…+n•2ⁿ⁺¹，
作差可得：
-T_n=2+4+8+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹，
=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
故T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的性质应用及整体思想与方程思想的应用，属于中档题．