Question

16．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，PC⊥平面ABCD，且AB=2，PC=$\sqrt{6}$，F是PC的中点．
（Ⅰ）求证：PA∥平面DBF；
（Ⅱ）求直线PA和平面PBC所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连AC，交BD于点O，连接FO，证明OF∥PA，利用直线与平面平行的判定定理证明PA∥平面DBF．
（Ⅱ）过点A作CB的垂线，交CB的延长线于E，连接PE，证明PC⊥AE，AE⊥BC，说明∠APE就是直线PA和平面PBC所成的角，通过求解三角形求解即可．

解答 解：（Ⅰ）连AC，交BD于点O，连接FO
∵底面ABCD为菱形，∴O为AC中点，又∵F是PC的中点，
∴OF是△PAC的中位线，∴OF∥PA
又∵OF?平面DBF，PA?平面DBF，∴PA∥平面DBF
（Ⅱ）过点A作CB的垂线，交CB的延长线于E，连接PE
∵PC⊥平面ABCD，∴PC⊥AE，又∵AE⊥BC，

∴AH⊥平面PBC．
∴∠APE就是直线PA和平面PBC所成的角
而$PA=3\sqrt{2}$，$AE=2sin{60°}=\sqrt{3}$
∴$sin∠APE=\frac{{\sqrt{3}}}{{3\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$
∴直线PA和平面PBC所成的角的正弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面市场价的求法，考查空间想象能力以及计算能力．