Question

14．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对于任意的实数x，有f（x）+f（-x）=2x²，当x∈（-∞，0]时，f′（x）+1＜2x．若f（2+m）-f（-m）≤2m+2，则实数m的取值范围是[-1，+∞）．

Answer 1

分析 构造函数g（x）=f（x）-x²+x，由g（-x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是减函数，结合函数的单调性解不等式即可．

解答 解：∵f′（x）+1＜2x，
∴f'（x）-2x+1＜0，
令g（x）=f（x）-x²+x
∵g（-x）+g（x）=f（-x）-x²-x+f（x）-x²+x=0，
∴函数g（x）为奇函数．
∵x∈（-∞，0]时，g′（x）=f′（x）-2x+1＜0，
故函数g（x）在（-∞，0]上是减函数，故函数g（x）在（0，+∞）上也减函数，
由f（0）=0，可得g（x）在R上是减函数，
∵f（2+m）-f（-m）≤2m+2，等价于f（2+m）-（2+m）²+m+2≤f（-m）-m²-m，
即g（2+m）≤g（-m），
∴2+m≥-m，解得m≥-1，
故答案为：[-1，+∞）．

点评 本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．