Question

7．如图1，△ABC是等腰直角三角形∠CAB=90°，AC=2a，E，F分别为AC，BC的中点，沿EF将△CEF折起，得到如图2所示的四棱锥C′-ABFE
（Ⅰ）求证：AB⊥平面AEC′；
（Ⅱ）当四棱锥C′-ABFE体积取最大值时，
（i）若G为BC′中点，求异面直线GF与AC′所成角；
（ii）在C′-ABFE中AE交BF于C，求二面角A-CC′-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出EF⊥AE，EF⊥C'E，从而EF⊥平面AEC'，由此能证明AB⊥平面AEC'．
（Ⅱ）（i）取AC'中点D，连接DE，EF，FG，GD，推导出四边形DEFG 为平行四边形，直线GF 与AC'所成角就是DE 与AC'所成角，由此能求出直线GF 与AC'所成角．
（ii） 分别以EA、EF、EC'所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面C'AE与平面C'BF的平面角的夹角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）因为△ABC 是等腰直角三角形，∠CAB=90°，E，F 分别为AC，BC 的中点，
所以EF⊥AE，EF⊥C'E．
又因为AE∩C'E=E，所以EF⊥平面AEC'．
由于EF∥AB，所以有AB⊥平面AEC'．4分
解：（Ⅱ）（i）取AC'中点D，连接DE，EF，FG，GD，
由于GD 为△ABC'中位线，以及EF 为△ABC 中位线，
所以四边形DEFG 为平行四边形．
直线GF 与AC'所成角就是DE 与AC'所成角．
所以四棱锥C'-ABFE 体积取最大值时，C'E 垂直于底面ABFE．
此时△AEC'为等腰直角三角形，
ED 为中线，所以直线ED⊥AC'．
又因为ED∥GF，所以直线GF 与AC'所成角为$\frac{π}{2}$．10分
（ii） 因为四棱锥C'-ABFE 体积取最大值，
分别以EA、EF、EC'所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系如图，
则C'（0，0，a），B（a，2a，0），F（0，a，0），C'B（a，2a，-a），C'F（0，a，-a）．
设平面C'BF 的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}^{'}B}=ax+2ay-az=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}^{'}F}=ay-az=0}\end{array}\right.$得，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（-1，1，1）．
平面C'AE 的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0）．
所以cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故平面C'AE与平面C'BF的平面角的夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．14分

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线线角的求法，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．