Question

17．对于下列命题：
①对立事件一定是互斥事件，但互斥事件却不一定是对立事件；
②设随机变量ξ的可能值为0，1，2，且P（ξ=0）=0.4，如果E（ξ）=1，那么D（ξ）=0.8；
③一个家庭中有三个小孩，假定生男孩和生女孩都是等可能的，事件A={这个家庭中既有男孩又有女孩}，事件B={这个家庭中最多一个女孩}，则A与B是相互独立事件；
④从1，2，3，…，9中任取3个数，设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1、2和2、3，此时ξ=2），则P（ξ=0）的值大于$\frac{3}{8}$．
对于上述的四个命题，其中是真命题的有①②④（把你认为正确的命题的序号都填上）．

Answer 1

分析 根据互斥事件与对立事件的关系，可判断①；根据已知求出D（ξ），可判断②；根据相互独立事件的定义，可判断③；计算出P（ξ=0）的值，可判断④．

解答 解：①对立事件一定是互斥事件，但互斥事件却不一定是对立事件，为真命题；
②设随机变量ξ的可能值为0，1，2，且P（ξ=0）=0.4，
设P（ξ=1）=a，则P（ξ=2）=0.6-a，
如果E（ξ）=1，a+2（0.6-a）=1，解得：a=0.2，
∴P（ξ=1）=0.2，P（ξ=2）=0.4
那么D（ξ）=0.8，为真命题；
③一个家庭中有三个小孩，假定生男孩和生女孩都是等可能的，事件A={这个家庭中既有男孩又有女孩}，事件B={这个家庭中最多一个女孩}，则A与B不是相互独立事件，为假命题；
④从1，2，3，…，9中任取3个数，设ξ为这3个数中两数相邻的组数，则P（ξ=0）=$\frac{5}{12}$＞$\frac{3}{8}$，为真命题．
故答案为：①②④

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了互斥事件与对立事件，分布列与期望，相互独立事件，概率等知识点，难度中档．