Question

11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为$\frac{160}{3}$，表面积为64+32$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由三视图知该几何体一个直三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体体积公式求出几何体的体积，由条件和面积公式求出各个面的面积，加起来求出几何体的表面积．

解答 解：由三视图知该几何体是一个直三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，
其直观图如图所示：
底面是等腰三角形，AB=BC=4，则AC=$4\sqrt{2}$，棱长是8，
其中D是CG的中点，
∵BF⊥平面EFG，∴BF⊥EF，
∵EF⊥FG，BF∩FG=F，
∴EF⊥平面BFGC，
∴组合体的体积：
V=V_{三棱柱ABC-EFG}-V_{三棱锥E-DFG}
=$\frac{1}{2}×4×4×8-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×4$
=$\frac{160}{3}$，
∵平面ABFE的面积为：4×8=32，
平面BCDF的面积为：$\frac{1}{2}×（4+8）×4$=24，
平面ABC的面积为：$\frac{1}{2}×4×4$=8，平面DEF的面积为：$\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×4$=8$\sqrt{2}$，
平面ACDE的面积为：$\frac{1}{2}×（4+8）×4\sqrt{2}$=24$\sqrt{2}$，
∴组合体的表面积S=32+24+8+8$\sqrt{2}$+24$\sqrt{2}$=64+32$\sqrt{2}$，
故答案为：$\frac{160}{3}$；64+32$\sqrt{2}$．

点评 本题考查三视图求几何体的体积以及表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．