Question

4．已知函数f（x）=-4x³+x²+4x-1，g（x）=ax-a，a∈R．
（1）求函数f（x）的极大值、极小值；
（2）若在（-∞，1）内存在唯一的整数m，使得f（m）＜g（m）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的单调区间，画出函数的图象，结合图象求出a的范围即可．

解答 解：（1）$f'（x）=-12{x^2}+2x+4=-12（{x+\frac{1}{2}}）（{x-\frac{2}{3}}）$，…（1分）
令f′（x）=0，得$x=-\frac{1}{2}$或$x=\frac{2}{3}$，…（2分）
在$x=-\frac{1}{2}$附近，当$x＞-\frac{1}{2}$时，f'（x）＞0；当$x＜-\frac{1}{2}$时，f'（x）＜0，
∴$x=-\frac{1}{2}$是函数f（x）的极小值点，极小值为$f（{-\frac{1}{2}}）=-\frac{9}{4}$…（4分）
在$x=\frac{2}{3}$附近，当$x＞\frac{2}{3}$时，f'（x）＜0；当$x＜\frac{2}{3}$时，f'（x）＞0，
∴$x=\frac{2}{3}$是函数f（x）的极大值点，极大值为$f（{\frac{2}{3}}）=\frac{25}{27}$…（6分）
（2）令f′（x）＞0，得$-\frac{1}{2}＜x＜\frac{2}{3}$，
∴函数f（x）的单调递增区间为$（{-\frac{1}{2}，\;\frac{2}{3}}）$…（7分）
令f′（x）＜0，得$x＜-\frac{1}{2}$或$x＞\frac{2}{3}$，
∴函数f（x）的单调递减区间为$（{-∞，\;-\frac{1}{2}，}）$，$（{\frac{2}{3}，\;+∞}）$…（8分）

∴根据（1）的结论，函数f（x）的图象大致如下：…（10分
∵函数g（x）=a（x-1）的图象恒经过点A（1，0），
f（x）的图象经过点B（0，-1），C（-1，0）
∴直线AB的斜率为1，AC的斜率为0，
∵a是经过点A（1，0）的直线的斜率，
∴可得所求a的取值范围是0≤a＜1，
此时唯一的整数为0．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．