Question

6．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+2x，g（x）=lnx．
（1）如果函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调函数，求a的取值范围；
（2）是否存在正实数a，使得函数F（x）=$\frac{g（x）}{x}$-f′（x）+2a+1在区间（$\frac{1}{2}$，2）内有两个不同的零点；若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）分a=0与a≠0两种情况讨论函数f（x）的单调性，
（2）先求函数函数F（x）的表达式，把函数F（x）的零点转化为求方程F（x）=0的根，再构造函数，用导数研究单调性求解．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=2x在[1，+∞）上是单调增函数，符合题意．
当a≠0时，y=f（x）的对称轴方程为x=-$\frac{2}{a}$，
由于y=f（x）在[1，+∞）上是单调函数，所以-$\frac{2}{a}$≤1，解得a≤-2或a＞0，
综上，a的取值范围是a≥0，或a≤-2．  
（2）F（x）=$\frac{lnx}{x}$-（ax+2）+（2a+1），函数T（x）在区间（$\frac{1}{2}$，2）内有两个不同的零点，
∴F（x）=0，即方程ax²+（1-2a）x-lnx=0在区间（$\frac{1}{2}$，2）内有两个不同的实根，
设H（x）=ax²+（1-2a）x-lnx  （x＞0）
H′（x）=2ax+（1-2a）-$\frac{1}{x}$=$\frac{（2ax+1）（x-1）}{x}$，
令H′（x）=0，因a为正数，解得x=1或x=-$\frac{1}{2a}$（舍）
当x∈（$\frac{1}{2}$，1）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数，
当x∈（1，2）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数，
为满足题意，只需H（x）在（$\frac{1}{2}$，2）内有两个不相等的零点，
故$\left\{\begin{array}{l}{H（\frac{1}{2}）＞0}\\{{H（x）}_{min}=H（1）＜0}\\{H（2）＞0}\end{array}\right.$，
解得：1＜a＜$\frac{2+4ln2}{3}$．

点评 本题主要考查函数与导数的关系，函数的零点与方程的根之间的关系，关键是相互转化．