Question

6．如图，已知⊙O₁与⊙O₂相交于点M，N，NA为⊙O₂的直径，连接AM交⊙O₁于点B，点C为$\widehat{AM}$的中点，连接CN分别与直线AB，⊙O₁交于点D，E．求证：
（1）AC∥BE
（2）CD•BE²=CN•DE²．

Answer 1

分析 （1）连接MN，BN，利用圆中直径的性质，证明∠BEC=∠ACN，即可证明AC∥BE；
（2）证明△ACN∽△DCA，可得AC²=CD•CN，结合$\frac{{A{C^2}}}{{B{E^2}}}=\frac{{C{D^2}}}{{D{E^2}}}$，即可证明结论．

解答 证明：（1）如图，连接MN，BN，
∵NA为⊙O₂的直径，∴∠AMN=90°，∴∠BMN=90°，
∴BN为⊙O₁的直径，∴∠BEN=90°，∴∠BEC=90°，
又∵NA为⊙O₂的直径，∠ACN=90°，
∴∠BEC=∠ACN，∴AC∥BE．…（5分）
（2）∵AC∥BE，∴△ACD∽△BED，∴$\frac{AC}{BE}=\frac{CD}{DE}$；
∵点C为$\widehat{AM}$的中点，∴∠ANC=∠CAM，
又∵∠ACN=∠DCA，∴△ACN∽△DCA，
∴$\frac{AC}{CD}=\frac{CN}{AC}$，∴AC²=CD•CN．
又∵$\frac{{A{C^2}}}{{B{E^2}}}=\frac{{C{D^2}}}{{D{E^2}}}$，∴$\frac{CD\;•\;CN}{{B{E^2}}}=\frac{{C{D^2}}}{{D{E^2}}}$，
∴CD•BE²=CN•DE²．…（10分）

点评 本小题主要考查平面几何中三角形相似的判定与性质，以及圆中角的性质等知识．