Question

4．已知x＞1，y＞1，且$\frac{1}{4}$lnx，$\frac{1}{4}$，lny成等比数列，则xy（　　）

• A． 有最大值e
• B． 有最大值 $\sqrt{e}$
• C． 有最小值e
• D． 有最小值 $\sqrt{e}$

Answer 1

分析 x＞1，y＞1，且$\frac{1}{4}$lnx，$\frac{1}{4}$，lny成等比数列，可得$（\frac{1}{4}）^{2}$=$\frac{1}{4}$lnx•lny，化为：lnx•lny=$\frac{1}{4}$，再利用基本不等式的性质、对数运算性质即可得出．

解答 解：∵x＞1，y＞1，且$\frac{1}{4}$lnx，$\frac{1}{4}$，lny成等比数列，
∴$（\frac{1}{4}）^{2}$=$\frac{1}{4}$lnx•lny，
化为：lnx•lny=$\frac{1}{4}$，
∴ln（xy）=lnx+lny≥2$\sqrt{lnx•lny}$=2×$\sqrt{\frac{1}{4}}$=1，当且仅当x=y=$\sqrt{e}$时取等号．
∴xy≥e．
故选：C．

点评 本题考查了等比数列的性质、基本不等式的性质、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．