Question

4．已知F₁、F₂分别为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且右焦点F₂的坐标为（1，0），点P（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在椭圆C上，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过点F₂的直线l与椭圆C交于A，B两点，且|AB|=$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$，求直线l的方程；
（3）过椭圆C上异于其顶点的任一点Q，作圆O：x²+y²=1的两条切线，切点分别为M，N（M，N不在坐标轴上），若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，那么$\frac{1}{{m}^{2}}$+$\frac{2}{{n}^{2}}$是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的定义得a，b进而得到椭圆方程；
（2）求出直线l与x，y轴的交点，代入椭圆方程，运用韦达定理，以及弦长公式，可得k的值；
（3）由切线的性质，设点Q（x₀，y₀），M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），连接0M，ON，0M⊥MQ，ON⊥NQ，得到直线MN的方程为xx₀+yy₀=1，求出x₀，y₀，
代入椭圆方程即可得证．

解答 解：（1）椭圆C的右焦点F₂的坐标为（1，0），
∴椭圆C的左焦点F₁的坐标为（-1，0），
由椭圆的定义得|PF₁|+|PF₂|=2a，
∴2a=$\sqrt{（1-（-1））^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}-0）^{2}}$+$\sqrt{（1-1）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}-0）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴a=$\sqrt{2}$，a²=2
由题意可得c=1，即b²=a²-c²=1，
即椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）直线l与椭圆C的两个交点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
①当直线l垂直x轴时，易得|AB|=$\sqrt{2}$，不合题意，
②当直线l不垂直x轴时，设直线l：y=k（x-1）
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，消y得，（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，①
则x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，
∴|AB|²=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=（1+k²）[（$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$）2-4×$\frac{2{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$]=$\frac{8（1+{k}^{2}）^{2}}{（2{k}^{2}+1）^{2}}$=（$\frac{4\sqrt{2}}{3}$）²，
解得k=±1，
∴直线方程l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0
（Ⅲ）设点Q（x₀，y₀），M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），连接0M，ON，
0M⊥MQ，ON⊥NQ，
∵M，N不在坐标轴上，
∴k_M0=$\frac{{y}_{3}}{{x}_{3}}$，k_N0=-$\frac{{y}_{4}}{{x}_{4}}$，
∴直线MQ的方程为y-y₃=$\frac{{y}_{3}}{{x}_{3}}$（x-x₃），即xx₃+yy₃=1，…①
同理直线NQ的方程为xx₄+yy₄=1，…②，
将点Q代入①②，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}{x}_{3}+{y}_{0}{y}_{3}=1}\\{{x}_{0}{x}_{4}+{y}_{0}{y}_{4}=1}\end{array}\right.$，
显然M（x₃，y₃），N（x₄，y₄）满足方程xx₀+yy₀=1，
∴直线MN的方程为xx₀+yy₀=1，
分别令x=0，y=0，得到m=$\frac{1}{{x}_{0}}$，n=$\frac{1}{{y}_{0}}$．
∴x₀=$\frac{1}{m}$，y₀=$\frac{1}{n}$，
∵Q（x₀，y₀）满足$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
∴$\frac{\frac{1}{{m}^{2}}}{2}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$=1，
即$\frac{1}{{m}^{2}}$+$\frac{2}{{n}^{2}}$=2

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，同时考查圆方程的求法，以及两圆相交弦的问题，考查运算能力，属于中档题．