Question

已知函数f（x）=

3x2-3x+1， 1 2 ＜x≤1 - 2 3 x+ 1 3 ，0≤x≤ 1 2

和函数g(x)=acos(

π

6

x+

π

3

)-a+1(a＞0)，若存在x₁，x₂∈[0，1]使得f（x₁）=g（x₂），则实数a的取值范围是（　　）

• A、（0，1]
• B、[1，2]
• C、（0，2]
• D、[2，+∞）

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：分别确定f（x），g（x）的范围，利用存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，建立不等式组，即可求得实数a的取值范围．

解答： 解：当x∈[0，

1

2

]时，f（x）=

1

3

-

2

3

x∈[0，

1

3

]，
当x∈（

1

2

，1]时，f（x）=3x²-3x+1=3（x-

1

2

）²+

1

4

∈（

1

4

，1]，
则当x∈[0，1]时，f（x）的值域为[0，1]；
又当x∈[0，1]时，

π

3

≤

π

6

x+

π

3

≤

π

2

，有0≤cos（

π

6

x+

π

3

）≤

1

2

，
因a＞0，有1-a≤g（x）≤1-

a

2

，
若存在x₁，x₂∈[0，1]使得f（x₁）=g（x₂），
则有

a＞0 1-a≤0 1- a 2 ≥0

．解得

a＞0 a≥1 a≤2

，即为1≤a≤2．
故选B．

点评：本题考查函数最值的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定f（x），g（x）的范围是关键．