Question

11．椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为A（0，2），右焦点F与点$B（\sqrt{2}，\sqrt{2}）$的距离为2，
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率k≠0的直线l：y=kx-2与椭圆相交于不同的两点M，N满足|AM|=|AN|，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设出椭圆的标准方程，由题意得b=2，再由a、b、c之间的关系及|FB|=2，求出a²=12，从而得到椭圆的方程．
（2）假设存在直线l，则点A在线段MN的垂直平分线上，把直线l的方程代入椭圆的方程，转化为关于x的一元二次方程，由题意知判别式大于0，设出M、N的坐标，利用一元二次方程根与系数的关系，用斜率表示MN的中点P的坐标，求出AP的斜率，由AP⊥MN，斜率之积等于-1，求出直线l的斜率

解答 解：（1）依题意，设椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1 （ a＞b＞0 ），则其右焦点坐标为F（c，0），c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，
由|FB|=$\sqrt{（c-\sqrt{2}）^{2}+2}=2$解得c=2$\sqrt{2}$，又∵b=2，∴a²=c²+b²=12，即椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）由|AM|=|AN|知点A在线段MN的垂直平分线上，
把y=kx-2代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．消去y得x²+3（kx-2）²=12，
即（1+3k²）x²-12kx=0
由k≠0，得方程的△=（-12k）²=144k²＞0，即方程有两个不相等的实数根．
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），线段MN的中点P（x₀，y₀），
则x₀=$\frac{{x}_{2}+{x}_{1}}{2}=\frac{6k}{1+3{k}^{2}}$，∴y₀=kx₀-2=$\frac{-2}{1+3{k}^{2}}$，即P（$\frac{6k}{1+3{k}^{2}}，\frac{-2}{1+3{k}^{2}}$），
∵k≠0，∴直线AP的斜率为k1=$\frac{-6{k}^{2}-4}{1+3{k}^{2}}$，由AP⊥MN，得$\frac{-6{k}^{2}-4}{1+3{k}^{2}}×k=-1$．
∴2+2+6k²=6，解得：k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴存在直线l满足题意，直线l的方程y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-2．

点评 本题考查用待定系数法求椭圆的标注方程，直线与圆锥曲线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，两直线垂直的性质，以及直线的倾斜角与斜率的关系，属于压轴题．