Question

12．平面内有向量$\overrightarrow{OA}$=（1，2），$\overrightarrow{OB}$=（-4，-5），$\overrightarrow{OP}$=（cosα，sinα），当α为何值时，f（α）=$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$能取得最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析 根据向量的坐标运算和向量的数量积的运算得到f（α）=3$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）-13，再根据正弦函数的图象和性质即可求出．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}$=（1，2），$\overrightarrow{OB}$=（-4，-5），$\overrightarrow{OP}$=（cosα，sinα），
∴$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OP}$=（1-cosα，2-sinα），$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OP}$=（-4-cosα，-5-sinα），
∴f（α）=$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-（1-cosα）（4+cosα）-（2-sinα）（5+sinα）=3$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）-13，
∵-1≤sin（α+$\frac{π}{4}$）≤1，
∴当sin（α+$\frac{π}{4}$）=1，即α+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即α=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z时，f（α）有最大值，即为3$\sqrt{2}$-13．

点评 本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积的运算和正弦函数的图象和性质，属于中档题．