Question

12．已知函数f（x）=2^x+2^-x．
（1）用定义法证明：函数f（x）是区间（0，+∞）上的增函数；
（2）若x∈[-1，2]，求函数g（x）=2^x[f（x）-2]-3的值域．

Answer 1

分析 （1）直接利用函数单调性的定义证明即可；
（2）已知f（x）得到g（x）=（2^x-1）²-3，利用二次函数的性质求值域即可．

解答 （1）证明：设x₂＞x₁＞0，则：
$f（{x_1}）-f（{x_2}）={2^{x_1}}+{2^{-{x_1}}}-（{2^{x_2}}+{2^{-{x_2}}}）$
=$（{2^{x_1}}-{2^{x_2}}）（1-\frac{1}{{{2^{x_1}}{2^{x_2}}}}）$
=$\frac{{（{2^{x_1}}-{2^{x_2}}）（{2^{{x_1}+{x_2}}}-1）}}{{{2^{{x_1}+{x_2}}}}}$，
∵x₂＞x₁＞0，∴${2^{x_1}}-{2^{x_2}}＜0$，${2^{{x_1}+{x_2}}}-1＞0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）是区间（0，+∞）上的增函数．
（2）∵x∈[-1，2]，∴${2^x}∈[{\frac{1}{2}，4}]$，g（x）=2^x[f（x）-2]-3=（2^x）²-2•2^x-2=（2^x-1）²-3，
当2^x=1时，g（x）_min=-3；当2^x=4时，g（x）_max=6．
∴函数g（x）的值域为[-3，6]．

点评 本题主要考查了函数单调性的定义证明，以及利用二次函数的性质求函数值域，属中等题．