Question

2．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα+sinα}\\{y=2\sqrt{3}sinαcosα-2si{n}^{2}α+2}\end{array}\right.（α为参数）$，若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线N的极坐标方程为ρsin（$θ+\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t（t为参数）．
（1）求曲线M和直线N的直角坐标方程；
（2）若直线N与曲线M有公共点，求参数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由x=$\sqrt{3}$cosα+sinα两边平方可得：x²=1+2cos²α+2$\sqrt{3}$sinαcosα，与y相减即可得出．直线N的极坐标方程为ρsin（$θ+\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t（t为参数），利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$化为直角展开为$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ+cosθ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，化为y+x=t．
（2）把y=-x+t代入x²-y=1，化为：t=x²+x-1=$（x+\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{5}{4}$，根据x∈[-2，2]，利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）曲线M的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα+sinα}\\{y=2\sqrt{3}sinαcosα-2si{n}^{2}α+2}\end{array}\right.（α为参数）$，
由x=$\sqrt{3}$cosα+sinα两边平方可得：x²=1+2cos²α+2$\sqrt{3}$sinαcosα，
与y相减可得：则x²-y=1．x∈[-2，2]．
直线N的极坐标方程为ρsin（$θ+\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t（t为参数），展开为$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ+cosθ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，化为y+x=t．
（2）把y=-x+t代入x²-y=1，化为：x²+x-t-1=0，
t=x²+x-1=$（x+\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{5}{4}$，
∵x∈[-2，2]，
∴当x=-$\frac{1}{2}$时，t取得最小值$-\frac{5}{4}$．
又t（-2）=1，t（2）=5．
∴t∈$[-\frac{5}{4}，5]$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程及其应用、三角函数求值、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．