Question

9．设函数f（x）=sinx+cosx（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最值；
（2）若f（$\frac{π}{12}$）=$\sqrt{2}$sinA，其中A是面积为$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$的锐角△ABC的内角，且AB=2，求边AC和BC的长．

Answer 1

分析 （1）化简得f（x）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），利用正弦函数的性质得出周期和最值；
（2）根据f（$\frac{π}{12}$）=$\sqrt{2}$sinA得出A，根据三角形的面积得出AC，利用余弦定理求出BC．

解答 解：（1）f（x）=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
∴函数f（x）的最小正周期T=2π．f（x）的最大值为$\sqrt{2}$，最小值为-$\sqrt{2}$．
（2）∵f（$\frac{π}{12}$）=$\sqrt{2}$sinA，即$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{2}$sinA，
∴sinA=sin$\frac{π}{3}$，∵△ABC是锐角三角形，∴A=$\frac{π}{3}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC•sinA=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，∴AC=3．
∴BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosA=7，
∴BC=$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，解三角形，属于基础题．