Question

14．已知F₁、F₂是椭圆C的两个焦点，P为椭圆上一点，若$\overrightarrow{P{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，且△PF₁F₂的面积和周长均为为16，求椭圆的标准方程．

Answer 1

分析 由题意可知：当焦点在x轴上时，$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），由勾股定理可知丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$丨²+丨$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨²=（2c）²，利用三角的面积公式，周长公式及椭圆的性质可求得a+c=8，a²-c²=16，即可求得a，b和c的值，求得椭圆方程，同理可求得焦点在x轴上时的椭圆方程．

解答 解：当椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由$\overrightarrow{P{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，
由勾股定理可知：丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$丨²+丨$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨²=（2c）²，
△PF₁F₂三角形的面积S=$\frac{1}{2}$丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$丨•丨$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨=16，
∴丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$丨•丨$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨=32，
由椭圆的性质可知：丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$丨+丨$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨=2a，
∴4a²-2×32=4c²，即a²=c²+16，
∴b=4，
且△PF₁F₂周长l=2a+2c=16，
∴a+c=8，
∴解得：a=5，c=3，
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$；
当椭圆的焦点在y轴时，同理可求得椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{25}=1$，
综上可知：椭圆的焦点在x轴上，椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$；
当椭圆的焦点在y轴时，椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{25}=1$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及其简单几何性质，三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．