Question

9．设数列{a_n}首项a₁=2，a_n+1=$\sqrt{3}$a_n，S_n为数列{a_n}的前n项和．若T_n=$\frac{28{S}_{n}-{S}_{2n}}{{a}_{n+1}}$，n∈N^*，当T_n取最大值时，n=（　　）

• A． 4
• B． 2
• C． 6
• D． 3

Answer 1

分析 先根据等比数列的前n项和和通项公式得到T_n=$\frac{（\sqrt{3}+1）[28•（\sqrt{3}）^{n}-28-{3}^{n}+1]}{2×（\sqrt{3}）^{n}}$，再设（$\sqrt{3}$）ⁿ=t，（t＞0），构造函数f（t）=$\frac{-{t}^{2}+28t-27}{t}$，根据基本不等式求出f（t）的最大值，即可得到答案．

解答 解：数列{a_n}首项a₁=2，a_n+1=$\sqrt{3}$a_n，
∴数列{a_n}是公比为$\sqrt{3}$的等比数列，
∴a_n+1=2×（$\sqrt{3}$）ⁿ，
S_n=$\frac{2（1-（\sqrt{3}）^{n}）}{1-\sqrt{3}}$=（$\sqrt{3}$+1）[（$\sqrt{3}$）ⁿ-1]，
S_2n=$\frac{2（1-（\sqrt{3}）^{2n}）}{1-\sqrt{3}}$=（$\sqrt{3}$+1）（3ⁿ-1），
∴T_n=$\frac{28{S}_{n}-{S}_{2n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{（\sqrt{3}+1）[28•（\sqrt{3}）^{n}-28-{3}^{n}+1]}{2×（\sqrt{3}）^{n}}$，
设（$\sqrt{3}$）ⁿ=t，（t＞0），
令f（t）=$\frac{-{t}^{2}+28t-27}{t}$=-（t+$\frac{27}{t}$）+28≤-2$\sqrt{t•\frac{27}{t}}$+28=-6$\sqrt{3}$+28，当且t=3$\sqrt{3}$时取等号，
∴（$\sqrt{3}$）ⁿ=3$\sqrt{3}$，
解得n=3，
故选：D．

点评 本题考查了等比的数列的前n项和公式以及数列的函数特征和基本不等式，属于中档题．