Question

17．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S₅=-15，$\frac{3}{7}＜d＜\frac{1}{2}$，则当S_n取得最小值时n的值为（　　）

• A． 7
• B． 8
• C． 9
• D． 10

Answer 1

分析 由已知得a₁=-3-2d，从而得到S_n=$\frac{d}{2}$（n-$\frac{5+\frac{6}{d}}{2}$）²-$\frac{d}{2}×\frac{（5+\frac{6}{d}）^{2}}{4}$，由$\frac{3}{7}＜d＜\frac{1}{2}$，得$\frac{17}{2}＜\frac{5+\frac{6}{d}}{2}＜\frac{19}{2}$，由此能求出当S_n取得最小值时n的值．

解答 解：∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S₅=-15，$\frac{3}{7}＜d＜\frac{1}{2}$，
∴${S}_{5}=5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d$=-15，
解得a₁=-3-2d，
S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}d$=-3n-2nd+$\frac{d{n}^{2}}{2}$-$\frac{nd}{2}$=$\frac{d}{2}$（n-$\frac{5+\frac{6}{d}}{2}$）²-$\frac{d}{2}×\frac{（5+\frac{6}{d}）^{2}}{4}$，
∵$\frac{3}{7}＜d＜\frac{1}{2}$，∴$\frac{17}{2}＜\frac{5+\frac{6}{d}}{2}＜\frac{19}{2}$，
∴当S_n取得最小值时n的值为$\frac{18}{2}=9$．
故选：C．

点评 本题考查等差数列的前n项和取最小值时n的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．