Question

9．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{tan[\frac{π}{2}（x-1）]，}&{0＜x≤1}\\{lnx，}&{x＞1}\end{array}\right.$，则f（f（e））=0，函数y=f（x）-1的零点为$\frac{1}{2}$，e．

Answer 1

分析 直接利用分段函数逐步求解第一问．利用分段函数直接求解函数的零点即可．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{tan[\frac{π}{2}（x-1）]，}&{0＜x≤1}\\{lnx，}&{x＞1}\end{array}\right.$，
则f（f（e））=f（lne）=f（1）=tan0=0．
当0＜x≤1时，tan$[\frac{π}{2}（x-1）]$=1，可得$\frac{π}{2}（x-1）=kπ+\frac{π}{4}$，k∈Z，
x=k+1+$\frac{1}{2}$，k=-1，x=$\frac{1}{2}$满足题意．
当x＞1时，lnx-1=0，解得x=e，
函数的零点为：$\frac{1}{2}$；e．
故答案为：0；$\frac{1}{2}$，e．

点评 本题考查函数与方程的应用，分段函数的应用，函数值的求法以及函数的零点的求法，考查分类讨论以及计算能力．