Question

1．定义运算a?b=$\frac{a+b-|a-b|}{2}$，则当a=3+log${\;}_{\frac{1}{4}}$x，b=log₂x时，函数f（x）=a?b的最大值为2．

Answer 1

分析 先由定义确定函数f（x）的解析式，再根据函数的定义域和单调性求函数的值域

解答 解：∵a=3+log${\;}_{\frac{1}{4}}$x=3+$\frac{lo{g}_{2}x}{lo{g}_{2}\frac{1}{4}}$=3-$\frac{1}{2}$log₂x
定义运算a?b=$\frac{a+b-|a-b|}{2}$，则当a=3+log${\;}_{\frac{1}{4}}$x，b=log₂x时，
函数f（x）=a?b=$\frac{1}{2}$[（3-$\frac{1}{2}$log₂x+log₂x）-|3-$\frac{1}{2}$log₂x-log₂x|]=$\frac{1}{2}$（3+$\frac{1}{2}$log₂x-3|1-$\frac{1}{2}$log₂x|]
当0＜x≤4，f（x）=log₂x，此时函数为增函数，f（x）_max=f（4）=2，
当x＞4时，f（x）=3-$\frac{1}{2}$log₂x，此时函数为减函数，f（x）_max=f（4）=3-1=2，
故函数f（x）=a?b的最大值为2，
故答案为：2．

点评 本题考查新定义以及对数函数的单调性，求对数函数的值域要注意函数的单调性．属于中档题．