Question

16．在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=60°，∠D=150°，BC=1，则四边形ABCD面积的取值范围是（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

Answer 1

分析 把AB长度调整，两个极端分别为C，D重合，A，D重合分别计算两种极限前提下AB的长度，利用割补法求出四边形ABCD面积的取值范围．

解答 解：平面四边形ABCD中，∠A=∠B=60°，∠D=150°，∴∠C=90°．
当把AB长度调整，两个极端分别为C，D重合时，AB=BC=1；
当A，D重合时，由正弦定理得$\frac{1}{sin30°}$=$\frac{AB}{sin90°}$，解得AB=2；
故AB的取值范围是（1，2），
设AD=x，则AO=x，∠OAD=120°四边形ABCD面积S=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}{x}^{2}×sin120°$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^{2}$，
∵OB=2，∴x∈（0，1），∴S∈（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
故答案为：（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

点评 本题考查了正弦定理的运用以及极限思想；关键是把AB长度调整，两个极端分别为C．D重合，A，D重合．