Question

6．已知动圆C恒过定点F（a，0），且与直线1：x=-a，（a＞0）相切，
（I）求动圆圆心C的轨迹E的方程；
（Ⅱ）过点F的直线交轨迹E于A，B两点，直线OA，OB分别与直线x=-a交于M，N两点，求证：以MN为直径的圆恒过定点并求定点的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由动圆C过点F（a，0）且与直线l：x=-a相切，得圆心C到F的距离等于到直线l的距离．由此能得到所求的轨迹方程；
（Ⅱ）求出直线AB斜率不存在时，以MN为直径的圆所过定点，然后证明直线AB的斜率存在时，以MN为直径的圆也过相同定点得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵动圆C过点F（a，0）且与直线l：x=-a相切，
∴圆心C到F的距离等于到直线l的距离．
∴点C的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，且$\frac{p}{2}=a$，p=2a，
∴所求的轨迹方程为y²=4ax；
（Ⅱ）如图，①当直线AB的斜率不存在时，设直线AB方程为x=a，
求得A（a，2a），B（a，-2a），M（-a，-2a），N（-a，2a），
则以MN为直径的圆过点G（a，0），H（-3a，0）；
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k（x-a），代入y²=4ax，得k²x²-（2ak²+4a）x+a²k²=0；
设A（x₁，2$\sqrt{a{x}_{1}}$），B（x₂，-2$\sqrt{a{x}_{2}}$），
由根与系数的关系得，x₁+x₂=$\frac{2a{k}^{2}+4a}{{k}^{2}}$，x₁x₂=a²；
又k_OA=$\frac{2\sqrt{a{x}_{1}}}{{x}_{1}}$，k_OB=-$\frac{2\sqrt{a{x}_{2}}}{{x}_{2}}$，
∴直线OA的方程为y=$\frac{2\sqrt{a{x}_{1}}}{{x}_{1}}$x，直线OB的方程为y=-$\frac{2\sqrt{a{x}_{2}}}{{x}_{2}}$x．
∴M（-a，-$\frac{2\sqrt{a{x}_{1}}}{{x}_{1}}$a），N（-a，$\frac{2\sqrt{a{x}_{2}}}{{x}_{2}}$a）．
∵$\overrightarrow{MG}=（2a，\frac{2\sqrt{a{x}_{1}}}{{x}_{1}}a），\overrightarrow{NG}=（2a，-\frac{2\sqrt{a{x}_{2}}}{{x}_{2}}a）$，
∴$\overrightarrow{MG}•\overrightarrow{NG}=4{a}^{2}-\frac{4{a}^{3}}{\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}}=0$．
则以MN为直径的圆恒过定点G（a，0）；
同理可证得以MN为直径的圆恒过定点H（-3a，0）；
∴以MN为直径的圆恒过定点（a，0），（-3a，0）．

点评 本题考查轨迹方程的求法，考查了抛物线的几何性质，训练了利用同一法证明过定点问题，考查计算能力，是中档题．