题目内容

16．某高校为了解即将毕业的男大学生的身体状况，检测了960名男大学生的体重（单位：kg），所得数据都在区间[50，75]中，其频率分布直方图如图所示，图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3．
（1）求这960名男大学生中，体重小于60kg的男大学生的人数；
（2）从体重在60～70kg范围的男大学生中用分层抽样的方法选取6名，再从这6名男大学生中随机选取2名，记“至少有一名男大学生体重大于65kg”为事件A，求事件A发生的概率．

分析 （1）根据小矩形的面积=频率，利用面积比求前三组的频率，利用频数=频率×样本容量，得到体重小于60kg的高三男生人数；
（2）分别求出60～65中抽出4名，65～70中抽出2名，再求出从这6名男大学生中随机选取2名的方法以及至少有一名男大学生体重大于65kg的方法，从而求出满足条件的概率即可．

解答 解：（1）根据直方图中各个矩形的面积之和为1，第4和第5组的频率和为（0.0375+0.0125）×5=0.25，
可知前3个小组的频率之和为1-0.25=0.75，
∵从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，
∴则前2组的频率为0.75×$\frac{3}{6}$=0.375，
故体重小于60kg的高三男生人数为960×0.375=360，
（2）60～65的学生数是0.375×960=360人，
65～70的学生数是0.0375×5×960=180人，
从体重在60～70kg范围的男大学生中用分层抽样的方法选取6名，
故60～65中抽出4名，65～70中抽出2名，
再从这6名男大学生中随机选取2名，共${C}_{6}^{2}$=15种方法，
至少有一名男大学生体重大于65kg有${{C}_{4}^{1}C}_{2}^{1}$+${C}_{2}^{2}$=9种，
∴P（A）=$\frac{9}{15}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查频率分布直方图的相关知识，考查分层抽样以及古典概率问题，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1，样本容量=$\frac{频数}{频率}$，属于基础题．

练习册系列答案
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（1）求证：f（x）是偶函数；
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C．若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥nD．若α∩β=m，n∥m，则n∥α，且n∥β

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