Question

过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）作圆x²+y²=b²的切线FQ（Q为切点）交椭圆于点P，当点Q恰为FP的中点时，椭圆的离心率为（　　）

• A、

  5

  3

• B、

  3

  2

• C、

  1

  2

• D、

  5

  2

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设直线FQ的方程为：y=k（x-c），利用直线与圆相切的性质和点到直线的距离公式可得直线的斜率k，进而得到切点Q的坐标，利用中点坐标可得点P的坐标，代入椭圆的方程即可得出．

解答：解：如图所示，
设直线FQ的方程为：y=k（x-c），
∵此直线与圆x²+y²=b²的相切于Q，
∴

|0-kc|

1+k2

=b，
解得k=-

b

c2-b2

，
联立

y= -b c2-b2 (x-c) x2+y2=b2

，解得

x= b2 c y= b c2-b2 c

．
∵点Q是FP的中点，
∴

2b2 c =xP+c 2b c2-b2 c =yP

，解得xP=

2b2-c2

c

，yP=

2b c2-b2

c

，
∵点P在椭圆上，∴

(2b2-c2)2

a2c2

+

4b2(c2-b2)

b2c2

=1，
又b²=a²-c²，
化为9c²=5a²，
∴e=

c

a

=

5

3

．
故选：A．

点评：本题考查了直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、中点坐标公式、点与椭圆的位置关系、椭圆的离心率计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．