Question

12．在△ABC中，两直角边和斜边分别为a，b，c，若a+b=cx，试确定实数x的取值范围（　　）

• A． $（{1，\sqrt{2}}]$
• B． $（{0，\sqrt{2}}]$
• C． $[{\sqrt{2}，2}）$
• D． $[{\sqrt{2}，\sqrt{3}}]$

Answer 1

分析 由a+b=cx得，x=$\frac{a+b}{c}$，由正弦定理得$\frac{a+b}{c}$=$\sqrt{2}$sin（A+45°），由此能确定实数x的取值范围．

解答 解：由a+b=cx得，x=$\frac{a+b}{c}$，
由题意得在△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°，
由正弦定理得：$\frac{a+b}{c}$=$\frac{sinA+sinB}{sinC}$=$\frac{sinA+sin（90°-A）}{sin90°}$
=sinA+cosA=$\sqrt{2}$sin（A+45°），
由A∈（0，90°）得，A+45°∈（45°，135°），
所以sin（A+45°）∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
即$\sqrt{2}$sin（A+45°）∈（1，$\sqrt{2}$]，
∴$\frac{a+b}{c}$∈（1，$\sqrt{2}$]，
∴x=$\frac{a+b}{c}$∈（1，$\sqrt{2}$]．
故选：A．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、三角函数性质的合理运用．