Question

6．已知点P是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F₁、F₂分别为双曲线的左、右焦点．
（1）证明：△PF₁F₂的内切圆的圆心的横坐标为a；
（2）若点M（a，2），且$\frac{\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{1}}}{|\overrightarrow{P{F}_{1}}|}$=$\frac{\overrightarrow{{{F}_{2}F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{1}}}{|\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}|}$，求△PMF₁、与△PMF₂的面积之差．

Answer 1

分析 （1）根据题意，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把|PF₁|-|PF₂|=2a，转化为|HF₁|-|HF₂|=2a，从而求得点H的横坐标；
（2）由已知向量等式可得M为△PF₁F₂的内心，由三角形的面积公式作差，结合双曲线定义可得答案．

解答 （1）证明：如图所示：F₁（-a，0）、F₂（a，0），
设内切圆与x轴的切点是点H，
PF₁、PF₂与内切圆的切点分别为A、B，
由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
由圆的切线长定理知，|PA|=|PB|，故|AF₁|-|BF₂ |=2a，
即|HF₁|-|HF₂|=2a，
设内切圆的圆心横坐标为x，则点H的横坐标为x，
故 （x+c）-（c-x）=2a，
∴x=a；
（2）解：由$\frac{\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{1}}}{|\overrightarrow{P{F}_{1}}|}$=$\frac{\overrightarrow{{{F}_{2}F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{1}}}{|\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}|}$，得$\frac{|\overrightarrow{P{F}_{1}}||\overrightarrow{M{F}_{1}}|cos∠M{F}_{1}P}{|\overrightarrow{P{F}_{1}}|}$=$\frac{|\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}||\overrightarrow{M{F}_{1}}|cos∠M{F}_{1}{F}_{2}}{|\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}|}$，
∴cos∠MF₁P=cos∠MF₁F₂，可得M在∠PF₁F₂的角分线上，
又M（a，2），结合（1）可知，M为△PF₁F₂的内心，
∴${S}_{△PM{F}_{1}}-{S}_{△PM{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}|P{F}_{1}|×2-\frac{1}{2}|P{F}_{2}|×2=|P{F}_{1}|-|P{F}_{2}|$=2a．

点评 本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查了双曲线的简单性质，考查数学转化思想方法，是中档题．