Question

5．设数列{a_n}的前n项和为S_n，（a_n，S_n）在函数y=2-x的图象上．
（1）求a_n；
（2）若数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=b_n+a_n，求b_n；
（3）在（2）的条件下，设c_n=1og${\;}_{\frac{1}{2}}$a_2n，T_n=$\frac{4}{{c}_{1}{c}_{2}}$+$\frac{4}{{c}_{2}{c}_{3}}$+…+$\frac{4}{{c}_{n}{c}_{n+1}}$，若不等式b_n+T_n＞m-2013对一切正整数n都成立的，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据数列的函数特征，求出数列的递推公式，根据递推公式求出数列的通项公式，
（2）利用累加法即可求出数列b_n的通项公式，
（3）先根据对数的性质求出数列c_n的通项公式，再用裂项求和求出T_n，再分离参数，根据数列的单调性即可求出m的取值范围．

解答 解：（1）数列{a_n}的前n项和为S_n，（a_n，S_n）在函数y=2-x的图象上，
∴S_n=2-a_n，
∴S_n-1=2-a_n-1，
∴a_n=a_n-1-a_n，
即2a_n=a_n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，
当n=1时，S₁=2-a₁，解的a₁=1，
∴数列{a_n}是以1为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
（2）∵b₁=1，b_n+1=b_n+a_n，
∴b_n-b_n-1=a_n-1，
∴b₂-b₁=a₁，b₃-b₂=a₂，…，
累加可得b_n-b₁=a₁+a₂+…+a_n-1=$\frac{1×（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$，
∴b_n=3-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$，
（3）∵c_n=1og${\;}_{\frac{1}{2}}$a_2n=2n-1，
∴$\frac{4}{{c}_{n}{c}_{n+1}}$=$\frac{4}{（2n-1）（2n+1）}$=2（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=$\frac{4}{{c}_{1}{c}_{2}}$+$\frac{4}{{c}_{2}{c}_{3}}$+…+$\frac{4}{{c}_{n}{c}_{n+1}}$=2（$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=2（1-$\frac{1}{2n+1}$）=2-$\frac{2}{2n+1}$
∵不等式b_n+T_n＞m-2013对一切正整数n都成立，
∴m＜3-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$+2-$\frac{2}{2n+1}$+2013=2018-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-$\frac{2}{2n+1}$
设f（n）=2018-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-$\frac{2}{2n+1}$
∴f（n）在n∈N*为递增数列，
∴f（n）_min=f（1）=2018-2-$\frac{2}{3}$=2015$\frac{1}{3}$=$\frac{6046}{3}$，
∴m＜$\frac{6046}{3}$

点评 本题考查数列的递推关系，考查等差数列的通项公式及数列的裂项法求和，函数恒成立的问题，属于中档题．