Question

数列的各项均为正数，为其前n项和，对于任意的，总有成等差数列

（1）求数列的通项公式：

（2）设数列前n项和为，且，求证对任意的实数和任意的正整数n，总有.

 

Answer 1

（1） ；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据题意，可得2Sn=an+an2①与2Sn?1＝an?1+an?1 2②成立，①-②得2an=an+an2-an-1-an-12，可以化简为an-an-1=1（n≥2），进而可得{an}是公差为1的等差数列，将n=1代入①中，可得a1=1，由等差数列的通项公式，可得答案；

（2）由对数的性质，分析可得对任意x∈（1，e]，有0＜lnx＜1，而an=n，则总有，用放缩法，可得，由裂项相消法，对右式求和可得证明．

试题解析：【解析】
（1）成等差数列

是等差数列

（2）

考点：1.数列与不等式的综合；2.等差关系的确定；3.数列的求和；4.数列递推式．