Question

15．分别求下列函数的最值：
（1）y=2x²-12x+21；
（2）y=（1-x）（x+2）；
（3）y=3-$\sqrt{5x-3{x}^{2}-2}$；
（4）y=$\frac{1}{1-x（1-x）}$；
（5）y=x⁴-3x²+2．

Answer 1

分析 （1），（2），（5），直接配方，根据二次函数的性质即可求出最值，
（3）设t=5x-3x²-2，求出$\sqrt{5x-3{x}^{2}-2}$的范围，即可求出最值，
（4）设t=x²-x+1=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$≥$\frac{3}{4}$，即可求出最值．

解答 解（1）y=2x²-12x+21=2（x-3）²+3，故最小值为3，无最大值，
（2）y=（1-x）（x+2）=-（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，故最大值为$\frac{9}{4}$，无最小值，
（3）y=3-$\sqrt{5x-3{x}^{2}-2}$，
设t=5x-3x²-2，
则t=5x-3x²-2≥0，解得$\frac{2}{3}$≤x≤1，
当x=1或$\frac{2}{3}$时，有最大值，最大值为3，
当x=$\frac{5}{6}$时，t的最大值为$\frac{1}{12}$，
所以y的最小值为3-$\sqrt{\frac{1}{12}}$=3-$\frac{\sqrt{3}}{6}$
（4）y=$\frac{1}{1-x（1-x）}$=$\frac{1}{{x}^{2}-x+1}$，
设t=x²-x+1=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$≥$\frac{3}{4}$，
故y的最大值为$\frac{4}{3}$，无最小值，
（5）y=x⁴-3x²+2=（x²-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$≥-$\frac{1}{4}$，
故y的最大值为-$\frac{1}{4}$

点评 本题考查了函数的最值的问题，关键时掌握二次函数的性质，属于中档题．