Question

3．已知tan²α=tan²β+1，求证：sin²β=2-$\frac{1}{si{n}^{2}α}$．

Answer 1

分析 利用三角函数的基本关系式对已知的等式切化弦，然后利用平方关系变形即可．

解答 证明：由已知tan²α=tan²β+1，
所以$\frac{si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}=\frac{si{n}^{2}β+co{s}^{2}β}{co{s}^{2}β}$=$\frac{1}{co{s}^{2}β}$，所以$\frac{co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α}=co{s}^{2}β$，
所以1-sin²β=$\frac{1-si{n}^{2}α}{si{n}^{2}α}$
所以sin²β=2-$\frac{1}{si{n}^{2}α}$．

点评 本题考查了三角函数的基本关系式的运用；属于基础题．