Question

15．已知：四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PD的中点，PA=a，∠PDA=45°
（1）求证：AF∥平面PCE；  
（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；
（3）求点D到平面PCE的距离．

Answer 1

分析 （1）取PC的中点G，连接FG、EG，证出AF∥EG，由线面平行的判定定理，即可证出：AF∥平面PCE．
（2）先证出AF⊥平面PCD，再由（1），可证EG⊥平面PCD，由面面垂直的判定定理即可证出平面PCE⊥平面PCD；
（3）过点D作DH⊥PC于H，DH的长为点D到平面PEC的距离．

解答 （1）证明：取PC的中点为G，连结FG、EG
∵FG∥DC，FG=$\frac{1}{2}$DC，DC∥AB，AE=$\frac{1}{2}$AB
∴FG∥AE且 FG=A
∴四边形AFGE为平行四边形，
∴AF∥EG．   
又∵AF?平面PCE，EG?平面PCE，
∴AF∥平面PCE…（4分）
（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，AD⊥D，∴PD⊥DC
∴∠PDA为二面角P-CD-B的平面角，∴∠PDA=45°，即△PAD为等腰直角三角形
又∵F为PD的中点，∴AF⊥PD   ①
由DC⊥AD，DC⊥PD，AD∩PD=D，
得：DC⊥平面PAD．
而AF?平面PAD，
∴AF⊥DC  ②
由①②得AF⊥平面PDC．
而EG∥AF
∴EG⊥平面PDC，
又EG?平面PCE，
∴平面PCE⊥平面PDC…（8分）
（3）解：过点D作DH⊥PC于H．
∵平面PCE⊥平面PDC，∴DH⊥平面PEC．
即DH的长为点D到平面PEC的距离．
在Rt△PAD中，PA=AD=a，PD=$\sqrt{2}$a
在Rt△PDC中，PD=$\sqrt{2}$a，CD=a，
PC=$\sqrt{3}$a，DH=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a．
即：点D到平面PCE的距离为$\frac{\sqrt{6}}{3}$a…（12分）

点评 本题考查线面位置关系，面面位置关系的判定，空间角的求解．考查空间想象能力，转化思想，计算能力．