Question

在曲线y=1-x²（x≥0，y≥0）上找一点（x₀，y₀），过此点作一切线与x轴、y轴围成一个三角形．
（1）求三角形面积S的最小值及相应的x₀；
（2）当三角形面积达到最小值时，求此三角形的外接圆方程．

Answer 1

（1）y'=-2x，则过点（x₀，y₀）的切线方程为y-（1-x₀²）=-2x₀（x-x₀），
与x、y轴围成的三角形面积为S=f(x0)=

1

4

(

x

30

+2x0+

1

x0

)，
则S′=

1

4

(3

x

20

+2-

1

x 20

)，令S'=0得x0=

3

3

当x∈(0，

3

3

)时，S'＜0，f（x₀）单调递减；  当x∈(

3

3

，1)时，S'＞0，f（x₀）单调递增．
∴S的最小值为

4 3

9

，此时x0=

3

3

（7分）
（2）当三角形面积最小时，切线方程为y=-

2 3

3

x+

4

3

，切线与x、y轴的交点分别为A(

2 3

3

，0)、B(0，

4

3

)，
∴此三角形的外接圆圆心为(

3

3

，

2

3

)，半径为

7

3

，
∴所求外接圆方程(x-

3

3

)2+(y-

2

3

)2=

7

9

（12分）