Question

9．已知函数$f（x）=Asin（3x+\frac{π}{6}）+B（A＞0）$的最大值为2，最小值为0．
（1）求$f（\frac{7π}{18}）$的值； 
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位后，再将图象上所有点的纵坐标扩大到原来$\sqrt{2}$的倍，横坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求方程$g（x）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的解．

Answer 1

分析 （1）由题意可得B，A的值，求得 函数f（x）的解析式，从而求得$f（\frac{7π}{18}）$的值．
（2）根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得到函数y=g（x），由方程可得sin（3x-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，由此解得x的值．

解答 解：（1）∵$f（x）=Asin（3x+\frac{π}{6}）+B（A＞0）$的最大值为2，最小值为0，
∴A+B=2，B-A=0，解得：A=B=1，
∴$f（\frac{7π}{18}）$=sin（3×$\frac{7π}{18}$+$\frac{π}{6}$）+1=1-sin$\frac{π}{3}$=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位后，
可得函数图象对应的函数解析式为：y=sin[3（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]+1=sin（3x-$\frac{π}{3}$）+1，
再将图象上所有点的纵坐标扩大到原来$\sqrt{2}$的倍，横坐标不变，
得到函数y=g（x）=$\sqrt{2}$sin（3x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{2}$，
由已知可得：$\sqrt{2}$sin（3x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得：sin（3x-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，
∴3x-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{7π}{6}$，或3x-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{11π}{6}$，k∈Z．
解得x=$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{π}{2}$，或x=$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{13π}{18}$，k∈Z．
即方程g（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$的解为{x|x=$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{π}{2}$，或x=$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{13π}{18}$，k∈Z}．

点评 本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角方程的解法，属于中档题．