Question

13．设△ABC的面积为S，2S+$\sqrt{3}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0．若|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{3}$，则S的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 根据面积公式列方程解出A，使用余弦定理和基本不等式得出AB•AC的最小值，即可得出面积的最小值．

解答 解：∵2S+$\sqrt{3}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，∴|AB||AC|sinA+$\sqrt{3}$|AB||AC|cosA=0，
∴tanA=-$\sqrt{3}$，∴A=$\frac{2π}{3}$．
由余弦定理得cosA=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2AB•AC}$=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-3}{2AB•AC}$=-$\frac{1}{2}$，
∴AB²+AC²=-AB•AC+3≥2AB•AC，
∴AB•AC≤1．
∴S=$\frac{1}{2}$AB•ACsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB•AC≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．

点评 本题考查了平行向量的数量积运算，余弦定理，属于中档题．