Question

20．已知数列{a_n}满足a_n+1=2a_n-n+1，n∈N^*，a₁=3，
（1）求a₂-2，a₃-3，a₄-4的值；
（2）根据（1）的结果试猜测{a_n-n}是否为等比数列，证明你的结论，并求出{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由数列{a_n}满足a_n+1=2a_n-n+1，对n分别取1，2，3，即可得出．
（2）猜测{a_n-n}为等比数列，下面证明：当n≥1时，a_n+1=2a_n-n+1，变形a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），即可证明．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满足a_n+1=2a_n-n+1，
∴a₂=2a₁-1+1=6，a₂-2=4；
a₃=2a₂-2+1=11，a₃-3=8；a₄=2a₃-3+1=20，a₄-4=16．
（2）猜测{a_n-n}为等比数列，下面证明：
当n≥1时，a_n+1-（n+1）=2a_n-n+1-（n+1）=2a_n-2n=2（a_n-n），
又a₁-1=2，则{a_n-n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴${a_n}-n={2^n}$，即${a_n}=n+{2^n}$．

点评 本题考查了数列的递推关系、等比数列的定义与通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．