Question

向量，满足||=||=1，|k+|=|-k|，（k＞0）．
（1）求•关于k的解析式f（k）；
（2）请你分别探讨⊥和∥的可能性，若不可能，请说明理由，若可能，求出k的值；
（3）求与夹角的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）对已知式子平方化简可得•，即得f（k）；（2）由于•=＞0，故与不可能垂直．若∥，只可能同向，可得•==1，解此方程可得；（3）代入夹角公式可得cosθ==，由基本不等式可得其最值，由夹角的范围结合余弦函数的单调性可得．
解答：解：（1）由已知有|k+|²=（|-k|）²，
又∵||=||=1，则可得•=（k＞0）
即f（k）=（k＞0）…（4分）
（2）∵k＞0，•=＞0，故与不可能垂直．
若∥，又•＞0，则与只可能同向，
故有•==1，即k²-4k+1=0，
又k＞0，故k=，
∴当k=时，∥…（8分）
（3）设，的夹角为θ，则
cosθ==•===，
当且仅当k=，（k＞0）即k=1时，取等号，即（cosθ）_min=，
又0≤θ≤π，故θ的最大值为．…（12分）
点评：本题考查平面向量的数量积，涉及向量的共线与垂直以及基本不等式的应用，属中档题．