Question

7．已知圆C：（x-1）²+y²=2，点P是圆内的任意一点，直线l：x-y+b=0．
（1）求点P在第一象限的概率；
（2）若b∈[-3，3]，求直线l与圆C相交的概率．

Answer 1

分析 （1）设圆C与y轴的交点为A，B．连接CA，CB．令（x-1）²+y²=2中的x=0得y=±1，可得：∠ACB=90°，
分别求出：圆在y轴左侧的弓形的面积，圆面在第一象限部分的面积，即可得出．
（2）欲使直线l与圆C相交，须满足$\frac{|1+b|}{{\sqrt{2}}}＜\sqrt{2}$，解得-3＜b＜1．又b∈[-3，3]，利用几何概率计算公式即可得出．

解答 解：（1）设圆C与y轴的交点为A，B．
连接CA，CB．令（x-1）²+y²=2中的x=0得y=±1，
∴|AB|=2，
∵$|CA|=|CB|=\sqrt{2}$，∴∠ACB=90°，
∴圆在y轴左侧的弓形的面积为$\frac{1}{4}π×{（\sqrt{2}）^2}-\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=\frac{π}{2}-1$，
∴圆面在第一象限部分的面积为$\frac{1}{2}π×{（\sqrt{2}）^2}-\frac{1}{2}（\frac{π}{2}-1）=\frac{3π}{4}+\frac{1}{2}$．
∴点P在第一象限的概率$P=\frac{{\frac{3π}{4}+\frac{1}{2}}}{2π}=\frac{3}{8}+\frac{1}{4π}$．
（2）欲使直线l与圆C相交，须满足$\frac{|1+b|}{{\sqrt{2}}}＜\sqrt{2}$，
即|1+b|＜2，解得-3＜b＜1．又∵b∈[-3，3]，
∴直线l与圆C相交的概率$P=\frac{1-（-3）}{3-（-3）}=\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了几何概率计算公式、圆的有关计算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．