Question

20．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的中心在坐标原点，对称轴在坐标轴上，椭圆C上点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+1与椭圆C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，求出a，c，可得b，然后求出椭圆的标准方程．
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\ 3{x^2}+4{y^2}=12\end{array}\right.$，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韦达定理通过k_ADk_BD=-1，列出方程，求出直线的斜率，得到直线方程．

解答 解：（1）由题意设椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
由已知椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，
可得：a+c=3，a-c=1，∴a=2，c=1∴b²=a²-c²=3
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\ 3{x^2}+4{y^2}=12\end{array}\right.$，消去y可得（4k²+3）x²+8kx-8=0，显然△＞0恒右成立
则A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）${x_1}+{x_2}=-\frac{8k}{{4{k^2}+3}}$，${x_1}{x_2}=\frac{-8}{{4{k^2}+3}}$，
${y_1}{y_2}=（k{x_1}+1）（k{x_2}+1）={k^2}{x_1}{x_2}+k（{x_1}+{x_2}）+1$
因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），∴k_ADk_BD=-1，即$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}=-1$
∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，∴（1+k²）x₁x₂+（k-2）（x₁+x₂）+5=0$\begin{array}{l}∴（1+{k^2}）\frac{-8}{{4{k^2}+3}}+（k-2）\frac{-8k}{{4{k^2}+3}}+5=0\\∴4{k^2}+16k+7=0\end{array}$
解得：$k=-\frac{1}{2}$或$k=-\frac{7}{2}$
当$k=-\frac{1}{2}$时，l的方程$y=-\frac{1}{2}x+1$，直线过点（2，0），与已知矛盾；
当$k=-\frac{7}{2}$时，l的方程为$y=-\frac{7}{2}x+1$，
所以，直线l的方程为$y=-\frac{7}{2}x+1$．

点评 本题考查椭圆的解得性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力．