Question

8．定义在（0，+∞）上函数f（x）满足：①当x∈[1，3）时，f（x）=1-|x-2|；②f（3x）=3f（x）．设关于x的函数F（x）=f（x）-a的零点从小到大依次为x₁，x₂，…，x_n…．若a∈（1，3），则x₁+x₂+…+x_2n=6（3ⁿ-1）．

Answer 1

分析 根据f（3x）=3f（x）得出f（x）在（3ⁿ，3ⁿ⁺¹）上的对称轴，根据对称性求出零点之和．

解答 解：∵当x∈[1，3）时，f（x）=1-|x-2|，
∴f（x）在（1，3）上的函数图象关于直线x=2对称，
∵f（3x）=3f（x），
∴f（x）在（3，9）上的图象关于直线x=6对称．
同理可得：f（x）在（3ⁿ，3ⁿ⁺¹）上的图象关于直线x=2•3ⁿ对称，
∵f（2）=1＜a，f（6）=3f（2）=3＞a，
∴F（x）在（0，3）上无零点，
∴x₁+x₂=2•2•3=4•3，x₃+x₄=2•2•3²=4•3²，…，x_2n-1+x_2n=4•3ⁿ，
∴x₁+x₂+…+x_2n=4×3+4×3²+…+4×3ⁿ=4×$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$=6（3ⁿ-1）．
故答案为：6（3ⁿ-1）．

点评 本题考查了函数的图象与性质、区间转换、对称性、等比数列的前n项和公式等基础知识与基本技能，属于难题．