题目内容
16．在平面直角坐标系xOy中，圆O的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），已知圆O与y轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，点P为直线l：y=4上的动点．直线PA，PB与圆O的另一个交点分别为M，N．（Ⅰ）写出圆O的标准方程；
（Ⅱ）若△PAN与△MAN的面积相等，求直线PA的方程；
（Ⅲ）求证：直线MN经过定点．
分析 （I）由圆O的参数方程，利用平方关系cos2θ+sin2θ=1可得标准方程．
（II）如图所示，A（0，2），B（0，-2），设P（t，4）．直线PA方程为：y=$\frac{2}{t}$x+2，（t≠0）．与圆的方程联立化为：$（1+\frac{4}{{t}^{2}}）{x}^{2}$+$\frac{8}{t}$x=0，解得M$（\frac{-8t}{{t}^{2}+4}，\frac{2{t}^{2}-8}{{t}^{2}+4}）$．根据△PAN与△MAN的面积相等，可得PA=AM．利用中点坐标公式即可得出t．
（III）直线PB的方程为：y=$\frac{6}{t}$x-2．（t≠0）．由（II）同理可得：N$（\frac{24t}{{t}^{2}+36}，\frac{72-2{t}^{2}}{{t}^{2}+36}）$．kMN=$\frac{12-4{t}^{2}}{8t}$．直线MN的方程为：y-$\frac{2{t}^{2}-8}{{t}^{2}+4}$=$\frac{12-{t}^{2}}{8t}$$（x+\frac{8t}{{t}^{2}+4}）$，令x=0，可得y=1．即可证明．
解答 （I）解：由圆O的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用平方关系可得：x2+y2=4．
（II）解：如图所示，A（0，2），B（0，-2），设P（t，4）．
直线PA方程为：y=$\frac{2}{t}$x+2，（t≠0）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{t}x+2}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化为：$（1+\frac{4}{{t}^{2}}）{x}^{2}$+$\frac{8}{t}$x=0，解得xM=-$\frac{8t}{{t}^{2}+4}$，yM=$\frac{2{t}^{2}-8}{{t}^{2}+4}$．可得M$（\frac{-8t}{{t}^{2}+4}，\frac{2{t}^{2}-8}{{t}^{2}+4}）$．
∵△PAN与△MAN的面积相等，∴PA=AM．
∴0=$\frac{t-\frac{8t}{{t}^{2}+4}}{2}$，解得t=±2．
∴直线PA的方程为：y=±x+2．
（III）证明：直线PB的方程为：y=$\frac{6}{t}$x-2．（t≠0）．
由（II）同理可得：N$（\frac{24t}{{t}^{2}+36}，\frac{72-2{t}^{2}}{{t}^{2}+36}）$．
kMN=$\frac{\frac{72-2{t}^{2}}{{t}^{2}+36}-\frac{2{t}^{2}-8}{{t}^{2}+4}}{\frac{24t}{{t}^{2}+36}+\frac{8t}{{t}^{2}+4}}$=$\frac{12-4{t}^{2}}{8t}$．
直线MN的方程为：y-$\frac{2{t}^{2}-8}{{t}^{2}+4}$=$\frac{12-{t}^{2}}{8t}$$（x+\frac{8t}{{t}^{2}+4}）$，
令x=0，可得y=1．
∴直线MN经过定点（0，1）．
点评 本题考查了圆的标准方程及其性质、直线与圆相交问题、斜率计算公式、直线经过定点问题、中点坐标公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
一诺书业暑假作业快乐假期云南美术出版社系列答案| A． | 7 | B． | 8 | C． | 9 | D． | 10 |
| A． | [0，1] | B． | [1，+∞） | C． | （0，1） | D． | （-∞，0）∪（1，+∞） |
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，
，已知
，其中
为锐角.
的大小；
，
，求边
的长.
按照下述方法定义：当
时，
；当
时，
，方程
的所有实数根之和是（ ）
均为非零实数，且满足
.
的值；
中，若
，求
的最大值.
B．
D．2