Question

20．已知命题p：若存在正数x∈（2，+∞）使2^x（x-a）＜1成立，命题q：函数y=lg（x²+2ax+a）值域为R，如果p∧q是假命题，p∨q真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 先求出命题p，q为真命题的等价条件，然后利用“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，确定实数a的取值范围．

解答 解：当p为真时，由题意可得，a＞x-（$\frac{1}{2}$）^x（x≥2）．
令f（x）=x-（$\frac{1}{2}$）^x，该函数在[2，+∞）上为增函数，可知f（x）的值域为[$\frac{7}{4}$，+∞），故a＞$\frac{7}{4}$时，存在正数x使原不等式成立，
当q为真时，应有4a2-4a≥0，
∴a≥1或a≤0，
由p∧q是假命题，p∨q真命题知p，q一真一假
当p为真q为假时，应有$\left\{\begin{array}{l}{a＞\frac{7}{4}}\\{0＜a＜1}\end{array}\right.$，此时无解，
当p为假q为真时，应有$\left\{\begin{array}{l}{a≤\frac{7}{4}}\\{a≤0或a≥1}\end{array}\right.$解得a≤0或1≤a≤$\frac{7}{4}$，
综上a≤0或1≤a≤$\frac{7}{4}$

点评 本题主要考查复合命题的真假判断以及应用，比较基础．