Question

函数y=

sinxcosx

sinx-cosx+1

（0＜x＜π）的值域．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：设t=sinx-cosx，由x的范围和三角函数公式可得-1＜t≤

2

，平方可得sinxcosx=

1-t2

2

，换元法可得．

解答： 解：设t=sinx-cosx=

2

sin（x-

π

4

），
∵0＜x＜π，∴-

π

4

＜x-

π

4

＜

3π

4

，
∴-

2

2

＜sin（x-

π

4

）≤1，
∴-1＜

2

sin（x-

π

4

）≤

2

，即-1＜t≤

2

，
由t=sinx-cosx平方可得t²=1-2sinxcosx，
∴sinxcosx=

1-t2

2

，
∴y=

sinxcosx

sinx-cosx+1

=

1-t2 2

t+1

=

1

2

（1-t），
∵-1＜t≤

2

，∴1-

2

≤1-t＜2，
∴

1- 2

2

≤

1

2

（1-t）＜1，
∴原函数的值域为[

1- 2

2

，1）

点评：本题考查三角函数的值域，涉及两角和与差的三角函数公式和换元法，属中档题．