Question

13．已知函数f（x）=x³+kx²-x+m，k，m∈R
（Ⅰ）若k=f′（$\frac{2}{3}$），求f（x）的单调区间
（Ⅱ）若函数f（x）在（1，2）上单调递增，求k的范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求出k的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题转化为2k≥$\frac{1-{3x}^{2}}{x}$=$\frac{1}{x}$-3x在（1，2）上恒成立，求出$\frac{1}{x}$-3x的最大值，从而求出k的范围．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+2kx-1，
由f′（$\frac{2}{3}$）=k，解得：k=-1，
∴f′（x）=（3x+1）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-$\frac{1}{3}$，
令f′（x）＜0，解得：-$\frac{1}{3}$＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，-$\frac{1}{3}$），（1，+∞）递增，在（-$\frac{1}{3}$，1）递减；
（Ⅱ）若函数f（x）在（1，2）上单调递增，
则f′（x）≥0在（1，2）恒成立，
即2k≥$\frac{1-{3x}^{2}}{x}$=$\frac{1}{x}$-3x在（1，2）上恒成立，
而$\frac{1}{x}$-3x在（1，2）递减，
∴2k≥-2，
解得：k≥-1．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．