Question

函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=

1

2

（1）求f(

1

2

)的值．
（2）数列{a_n} 满足：an=f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(1)，数列{a_n}是等差数列吗？请给予证明．

Answer 1

分析：（1）在给出的等式中，取x=

1

2

，整理后即可得到答案；
（2）在给出等式中取x=

1

n

，得到f(

1

n

)+f(

n-1

n

)=

1

2

，把an=f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(1)倒序后两式相加求出a_n，然后判断a_n+1-a_n是否为常数．

解答：解：（1）由f（x）+f（1-x）=

1

2

，
令x=

1

2

，得f(

1

2

)+f(

1

2

)=

1

2

，∴f(

1

2

)=

1

4

（2）数列{a_n}是等差数列．
事实上，令x=

1

n

，得f(

1

n

)+f(1-

1

n

)=

1

2

，
即f(

1

n

)+f(

n-1

n

)=

1

2

，an=f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(1)
又an=f(1)+f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+…+f(

1

n

)+f(0)，
两式相加得：
2an=[f(0)+f(1)]+[f(

1

n

)+f(

n-1

n

)]+…+[f(1)+f(0)]=

n+1

2

，
∴an=

n+1

4

，n∈N*，
则an+1-an=

(n+1)+1

4

-

n+1

4

=

1

4

．
故数列{a_n}是等差数列．

点评：本题考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，解答的关键是利用倒序相加法求得a_n，是中档题．