Question

20．已知a，b∈R，矩阵A=$[\begin{array}{l}{a}&{b}\\{1}&{4}\end{array}]$，若矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α₁=$[\begin{array}{l}{3}\\{-1}\end{array}]$，属于特征值5的一个特征向量为α₂=$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．

Answer 1

分析 由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α₁=$[\begin{array}{l}{3}\\{-1}\end{array}]$，求出3a-b=3，由矩阵A属于特征值5的一个特征向量为α₂=$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，求出a+b=5，由此能求出矩阵A，进而能求出A的逆矩阵．

解答 [选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
解：由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α₁=$[\begin{array}{l}{3}\\{-1}\end{array}]$，
得：$[\begin{array}{l}{a}&{b}\\{1}&{4}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{3}\\{-1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{3}\\{-1}\end{array}]$，
∴3a-b=3，
由矩阵A属于特征值5的一个特征向量为α₂=$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，
得：$[\begin{array}{l}{a}&{b}\\{1}&{4}\end{array}][\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]=5[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，
∴a+b=5，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=3}\end{array}\right.$，即A=$[\begin{array}{l}{2}&{3}\\{1}&{4}\end{array}]$．
∵$[\begin{array}{l}{2}&{3}&{\;}&{1}&{0}\\{1}&{4}&{\;}&{0}&{1}\end{array}]$→$[\begin{array}{l}{1}&{4}&{\;}&{0}&{1}\\{2}&{3}&{\;}&{1}&{0}\end{array}]$→$[\begin{array}{l}{1}&{4}&{\;}&{0}&{1}\\{0}&{-5}&{\;}&{1}&{-2}\end{array}]$→$[\begin{array}{l}{1}&{4}&{\;}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{\;}&{-\frac{1}{5}}&{\frac{2}{5}}\end{array}]$→$[\begin{array}{l}{1}&{0}&{\;}&{\frac{4}{5}}&{-\frac{3}{5}}\\{0}&{1}&{\;}&{-\frac{1}{5}}&{\frac{2}{5}}\end{array}]$．
∴A的逆矩阵A^-1=$[\begin{array}{l}{\frac{4}{5}}&{-\frac{3}{5}}\\{-\frac{1}{5}}&{\frac{2}{5}}\end{array}]$．

点评 本题考查矩阵的求法，考查矩阵的逆矩阵的求法，考查矩阵的特征向量、初等变换等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．