Question

如图，平面ADE⊥平面ABCD，△ADE是边长为a的等边三角形，ABCD是矩形，F是AB的中点，并且EC与平面ABCD所成的角为．

(1)求证EA⊥CD；(2)求二面角E－FC－D的大小；(3)求D点到平面EFC的距离．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)∵ABCD是矩形， ∴CD⊥AD． 又平面ADE⊥平面ABCD，交线为AD， ∴CD⊥平面ADE 而EA平面ADE，于是EA⊥CD． (2)在平面ADE内作EG⊥AD于G．由于平面ADE⊥平面ABCD，且AD为交线，故EG⊥平面ABCD．连结GF，GC．因此∠ECG为EC和平面ABCD所成的角，故∠ECG=．由已知可求得EG＝a，GC=a，GD=a，CD=a，FG=a，EF=FC=a，EC=a．于是有，即△EFC为等腰直角三角形．故GF⊥FC，故GF⊥FC．所以∠EFG为二面角E－FC－D的平面角，且∠EFG＝，即二面角E－FC－D为． (3)由(2)连结DF，D点到平面EFC的距离即三棱锥D－EFC的高h．因为，故·GE=h．由此可求得h＝a，即点D到平面EFC的距离a．