题目内容
设A＋B＋C＝π，且x，y，z∈R，求证：
x2＋y2＋z2≥2yzcosA＋2xzcosB＋2xycosC．
答案：
解析：
解析：
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证明：设f(x)＝x2＋y2＋z2－2yzcosA－2xzcosB－2xycosC ＝x2－2x(zcosB＋ycosC)＋y2＋z2－2yzcosA． 由A＋B＋C＝π知cosA＝－cos(B＋C) ＝－cosBcosC＋sinBsinC． 又Δ＝4(zcosB＋ycosC)2－4(y2＋z2－2yzcosA) ＝4(z2cos2B＋y2cos2C＋2yzcosBcosC－y2－z2＋2yzcosA) ＝4[－z2sin2B－y2sin2C＋2yzcosBcosC－2yzcos(B＋C)] ＝4(－z2sin2B－y2sin2C＋2yzsinBsinC) ＝－4(zsinB－ysinC)2≤0． 又二次项系数为1，∴f(x)对任意x恒有f(x)≥0． 也就是x2＋y2＋z2≥2yzcosA＋2xzcosB＋2xycosC． 当且仅当zsinB－ysinC＝0时，Δ＝0； x＝zcosB＋ycosC时，f(x)＝0． ∴x2＋y2＋z2≥2yzcosA＋2xzcosB＋2xycosC， 当且仅当zsinB－ysinC＝0，zsinA－xsinC＝0，ysinA－xsinB＝0时，等号成立． 分析：我们可把待证不等式转化为某一字母的函数，利用函数的性质，作出简捷证明，只要函数构造得当，证明过程会特别简捷明快． |
练习册系列答案
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