Question

3．如图所示，扇形AOB中，圆心角∠AOB=$\frac{π}{3}$，半径为2，在弧$\widehat{AB}$上有一动点P，过P引平行于OB的直线与OA交于点C，设∠AOP=θ，则△POC面积的最大值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 由已知及正弦定理可得$\frac{2}{{sin\frac{2π}{3}}}=\frac{OC}{{sin（{\frac{π}{3}-θ}）}}$，解得$OC=\frac{4}{{\sqrt{3}}}sin（{\frac{π}{3}-θ}）$，利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可得S_△POC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（2$θ+\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，利用θ的范围及正弦函数的性质即可解得其最大值．

解答 解：由题意可知：$∠CPO=∠POB=\frac{π}{3}-θ$，$∠OCP=\frac{2π}{3}$，
在△POC中，由正弦定理得：$\frac{2}{{sin\frac{2π}{3}}}=\frac{OC}{{sin（{\frac{π}{3}-θ}）}}$，得：$OC=\frac{4}{{\sqrt{3}}}sin（{\frac{π}{3}-θ}）$，
所以${S_{△POC}}=\frac{1}{2}OP•OCsinθ=\frac{4}{{\sqrt{3}}}sinθ•sin（{\frac{π}{3}-θ}）$，
=$2sinθ•cosθ-\frac{2}{{\sqrt{3}}}{sin^2}θ=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}sin（{2θ+\frac{π}{6}}）-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，当$θ=\frac{π}{6}$时，S_△POC的最大值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．